Variationelle Modellierung von Phasentransformationen in polykristallinen Materialien

Festkörper-Phasenumwandlungen in polykristallinen Metallen haben einen starken Einfluss auf die Mikrostruktur und das daraus resultierende Materialverhalten. So wird beispielsweise die mikrostrukturelle Entwicklung in Formgedächtnislegierungen durch einen temperatur- und/oder spannungsinduzierten Übergang zwischen Austenit und Martensit bestimmt, was zum namensgebenden Formgedächtniseffekt und zum superelastischen Materialverhalten führt. Die Anwendung von Variationsmethoden ermöglicht die Herleitung von Materialmodellen, die zur Vorhersage der komplexen mikrostrukturellen Entwicklung verwendet werden können. Das Grundkonzept des Modellierungsansatzes besteht darin, dass jedes Material einen Zustand minimaler Energie bevorzugt. Die Formulierung des energetischen Zustands des betrachteten Materials und die anschließende Minimierung führen direkt zu Entwicklungsgleichungen, die den Zustand des Materials beschreiben.  Wir haben das Variationskonzept angewandt, um das Verhalten verschiedener Materialien zu erfassen, z. B. die vom Temperaturgradienten abhängige Phasenumwandlung in Stahl sowie Phasenumwandlungen in Verbindung mit plastischen Verformungen und inelastischen Effekten in Formgedächtnislegierungen.

Kooperation mit:

• Philipp Junker (Leibniz Universität Hannover)
• Stefanie Reese (RWTH Aachen Universität / Universität Siegen)
• Georg Dolzmann (Universität Regensburg)

Referenzen:

• Waimann, J., & Reese, S. (2022). Variational modeling of temperature induced and cooling-rate dependent phase transformations in polycrystalline steel. Mechanics of Materials, 170, 104299.
• Waimann, J., Hackl, K., & Junker, P. (2020). Variational modeling and finite-element simulation of functional fatigue in polycrystalline shape memory alloys. Journal of Optimization Theory and Applications, 184(1), 98-124.
• Waimann, J., Junker, P., & Hackl, K. (2017). Modeling the cyclic behavior of shape memory alloys. Shape Memory and Superelasticity, 3, 124-138.
• Waimann, J., Junker, P., & Hackl, K. (2016). A coupled dissipation functional for modeling the functional fatigue in polycrystalline shape memory alloys. European Journal of Mechanics-A/Solids, 55, 110-121.
• Waimann, J., Junker, P., & Hackl, K. (2015). A variational material model for transformation-induced plasticity in polycrystalline steels. Journal of the Mechanical Behavior of Materials, 24(5-6), 153-159.

Effiziente zweiskalige FE-FFT-basierte Simulation elasto-viskoplastischer polykristalliner Materialien

Das allgemeine Streben nach technologischem Fortschritt stellt immer höhere Anforderungen an Strukturbauteile. Um die Performance der eingesetzten Werkstoffe zu optimieren, ist eine detaillierte Kenntnis des gesamten sowie des mikroskopischen Materialverhaltens unter definierten Belastungsbedingungen erforderlich. Daher stellen wir eine zweiskalige Finite-Elemente- (FE) und Fast-Fourier-Transformations-(FFT) basierte Methode zur Untersuchung thermo-mechanisch gekoppelter, elasto-viskoplastischer, polykristalliner Materialien bei finiten Dehnungen vor. Unter der Annahme, dass die Längenskala der Mikroskala im Vergleich zur Längenskala der Makroskala hinreichend klein ist, betrachten wir die makroskopischen und mikroskopischen Randwertprobleme als zwei gekoppelte Teilprobleme. Das makroskopische Randwertproblem wird mit der Finite-Elemente-Methode gelöst. An jedem makroskopischen Integrationspunkt wird das mikroskopische Randwertproblem als periodische Einheitszelle eingebettet, deren Lösungsfelder mit Hilfe von Fast-Fourier-Transformationen und einem Newton-Krylov-Solver berechnet werden. Der Skalenübergang wird durch die Definition der makroskopischen Größen als Volumenmittelwerte ihrer mikroskopischen Pendants erreicht. Schließlich verwenden wir eine Lösungsstrategie, die auf einer grob diskretisierten Mikrostruktur basiert, um eine effiziente zweiskalige Simulationsmethodik zu entwickeln.

Kooperation mit:

• Bob Svendsen (RWTH Aachen University / Max-Planck Institut für Eisenforschung, Düsseldorf)
• Stefanie Reese (RWTH Aachen University / University of Siegen)
• Jens Sölter (University of Bremen)
• Rainer Fechte-Heinen (University of Bremen)

Referenzen:

• Schmidt, A., Gierden, C., Fechte-Heinen, R., Reese, S. & Waimann, J., (2025). Efficient thermo-mechanically coupled and geometrically nonlinear two-scale FE-FFT-based modeling of elasto-viscoplastic polycrystalline materials. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 435, 117648.
• Gierden, C., Kochmann, J., Waimann, J., Svendsen, B., & Reese, S. (2022). A review of FE-FFT-based two-scale methods for computational modeling of microstructure evolution and macroscopic material behavior. Archives of Computational Methods in Engineering, 29(6), 4115-4135.
• Gierden, C., Kochmann, J., Waimann, J., Kinner-Becker, T., Sölter, J., Svendsen, B., & Reese, S. (2021). Efficient two-scale FE-FFT-based mechanical process simulation of elasto-viscoplastic polycrystals at finite strains. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 374, 113566.^*

Mehrskalenmodellierung von spongiösem Knochen

Osteoporose ist die weltweit am weitesten verbreitete Knochenkrankheit. Die Krankheit zeichnet sich durch eine Abnahme der Knochendichte über die Zeit aus, dadurch wird der Knochen geschwächt, zudem steigt das Risiko für Knochenbrüche. In Zukunft könnte Sonographie eine vielversprechendes Diagnosetool für die Früherkennung von Osteoporose werden. Zur Simulation dieses Prozesses haben wir ein Materialmodell eingeführt, welches aus Makroskala und Mikroskala besteht. Auf der Mikroskala unterscheiden wir zwischen den Phasen kortikaler Knochen und Knochenmark. Im Modell werden mechanische, elektrische und magnetische Effekte berücksichtigt, da das Magnetfeld diejenige Größe ist, welche in Experimenten gemessen wird und von der aus Rückschlüsse über den Gesundheitszustand des Knochens gezogen werden. Wir verwenden die Finite Elemente Quadrat Methode (FE²), um das gekoppelte, Mehrskalensystem von partiellen Differentialgleichungen (PDE) zu lösen. Um verschiedene Stufen von Osteoporose zu modellieren, haben wir verschiedene repräsentative Volumenelemente (RVEs) mit verschiedenen Volumenprozent-Anteilen von kortikalem Knochen konstruiert. Wir konnten zeigen, dass das Magnetfeld für spätere Stadien der Krankheit deutlich reduziert ist. Die Lösung des inversen Problems – die Ermittlung des Knochenzustandes aus den Daten des Magnetfeldes - ist wichtig für die Diagnostik. Wir nutzen künstliche Neuronale Netze (KNN, engl. ANN), um dieses Problem für synthetische Daten mit hoher Genauigkeit zu lösen.

Referenzen:

• Blaszczyk, M., & Hackl, K. (2022). Multiscale modeling of cancellous bone considering full coupling of mechanical, electric and magnetic effects. Biomechanics and Modeling in Mechanobiology, 21(1), 163-187.
• Stieve, V., Blaszczyk, M., & Hackl, K. (2022). Inverse modeling of cancellous bone using artificial neural networks. ZAMM‐Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 102(6), e202100541.